Содержание
Вероятность и статистика – обязательный компонент школьного образования. презентация, доклад
«Вероятность и статистика» – обязательный компонент школьного образования.
Учитель математики МОУ СОШ №4 г. Мытищи
Литуновская Наталья Владимировна.
Вероятность и статистика (50 часов)
Описательная статистика. Представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков. Случайная изменчивость. Статистические характеристики набора данных: среднее арифметическое, медиана, наибольшее и наименьшее значения, размах, дисперсия. Репрезентативные и нерепрезентативные выборки.
Случайные события и вероятность. Понятие о случайном опыте и случайном событии. Элементарные события. Частота случайного события. Статистический подход к понятию вероятности. Несовместимые события. Формула сложения вероятностей. Вероятности противоположных событий. Независимые события. Умножение вероятностей. Достоверные и невозможные события. Равновозможность событий. Классическое определение вероятности.
Комбинаторика. Решение комбинаторных задач перебором вариантов. Комбинаторное правило умножения. Перестановки и факториал.
Сравнение учебных программ
Перед нами нередко возникают проблемы, которые имеют не одно, а несколько различных решений. Обычно одни из них нас устраивают, а другие нет.
Рассмотрим первый пример.
Сколько двузначных чисел можно составить из цифр:
Решение
Составим таблицу: слева от первого столбца поместим первые цифры искомых чисел, а выше первой строки – вторые цифры этих чисел.
11
14
17
41
44
47
71
74
77
9 чисел!
Второй пример: «В алфавите племени уауа имеются только две буквы – «а» и «у».
Сколько различных слов по три буквы в каждом слове можно составить, используя алфавит этого племени?»
Решение
8 слов!
Третий пример: «На завтрак Вова может выбрать плюшку, бутерброд, пряник или кекс, а запить их он может кофе, соком или кефиром. Из скольких вариантов завтрака Вова может выбрать?»
Решение
12 вариантов!
В данных примерах был осуществлен способ перебора возможных вариантов (возможных комбинаций).
Поэтому данные задачи называют комбинаторными.
Решения данных задач основывается на общем правиле умножения.
«Правило умножения»
Для того чтобы найти число всех возможных исходов независимого проведения двух испытаний А и В, следует перемножить число всех исходов испытания А и число всех исходов испытания В.
Правило умножения для трех, четырех и более испытаний можно объяснить, не выходя за рамки плоскости, с помощью геометрической модели, которую называют деревом возможных вариантов. Она, во-первых, наглядна, как всякая картинка, и, во-вторых, позволяет все учесть, ничего не пропустив.
Дерево возможных вариантов
В алфавите племени уауа имеются только две буквы – «а» и «у».
Сколько различных слов (по три буквы в каждом слове) можно составить, используя алфавит этого племени?
*
Первая буква
Вторая буква
Третья буква
Полученное слово
Задание 1
Имеются ручки четырех цветов: красные, синие, зеленые, черные – и два вида записных книжек. Сколько различных наборов из ручки и записной книжки можно составить из этих предметов?
Решение
*
Задание 2
Шифр для сейфа составляют из букв и цифр, причем на первом месте всегда ставится буква. Сколько различных вариантов шифра можно составить, используя буквы А, В, С и цифры 3, 7, 9?
Решение
*
А3, А7, А9, В3, В7, В9, С3, С7, С9
Задание 3
Сколько можно составить различных букетов из трех роз, если в продаже имеются белые и красные розы?
Решение
*
БББ, ББК, БКБ, КБК, ККБ, ККК
Задание 4
Сколькими способами три друга могут разделить между собой два банана, две груши и два апельсина так, чтобы каждый получил по два различных фрукта?
Решение
*
Определения
События, которые при данных условиях обязательно происходят, называют достоверными.
События, которые при данных условиях не могут произойти, называют невозможными.
События, которые при данных условиях имеют равные шансы, называются равновероятными.
Пример 1
В коробке лежат 5 конфет в синей обертке и одна в белой. Не глядя в коробку, наугад вынимают одну конфету. Можно ли сказать заранее, какого она будет цвета?
Пример 2
В сумке лежат 4 красных и 4 желтых яблока. Из сумки наугад вынимают яблоко. Какое из событий А, В, С, Д при этом может произойти?
А. Вынуто красное яблоко.
В. Вынуто желтое яблоко.
С. Вынуто зеленое яблоко.
Д. Вынуто яблоко.
1 задание
Среди следующих событий укажите случайные, достоверные и невозможные.
А. Попугай научится говорить.
В. Вы садитесь в поезд и доезжаете до Северного полюса.
С. Наугад взятая с полки книга оказывается учебником математики.
Д. В полдень бьют Кремлевские часы.
Е. Вода в Тихом океане закипит.
2 задание
Оцените возможность наступления событий, используя для этого слова: «достоверное событие», «случайное событие», «невозможное событие», а также «очень вероятное событие» и «маловероятное событие».
А. Завтра будет хорошая погода.
В. Вас пригласят в гости.
С. В январе в городе пойдет снег.
Д. В 12 часов ночи в городе идет дождь, а через 24 часа будет светить солнце.
Е. На день рождения вам подарят говорящего крокодила.
F. Вам подарят живого крокодила.
G. Вы получите «пятерку» за контрольную работу по математике.
1 задание
В три коробки разложили карамель, но в нее попало несколько ирисок. Из какой коробки больше шансов вынуть наугад ириску, а из какой – меньше?
Урезанное среднее.
Рассмотрим следующий пример. На олимпиаде по математике предлагалось решить пять задач по 4 балла за каждую. В протоколе указана сумма баллов каждого из восьми участников этой олимпиады:
12; 14; 14; 16; 17; 18; 19; 200.
Для ускорения подсчета имеется автоматизированная система обработки данных, которая находит среднее арифметическое любых введенных чисел. Какой средний балл набрали участники олимпиады?
У данного набора среднее равно 38,75. Однако такую сумму баллов никто из участников набрать не мог. К тому же семь чисел из данных восьми намного меньше его. Все значения этого набора, кроме крайнего правого, достаточно кучно попадают в интервал [12; 19], а 38,75 в него не попадает. Все это говорит о том, что полученное среднее арифметическое не только не передает особенностей данного набора чисел, но и вообще противоречит здравому смыслу. Значит, либо в условие, либо в решение вкралась ошибка! Посмотрим еще раз на данные числа. Теперь, получив явно бессмысленный результат, мы сможем более критически отнестись к условию: первые семь чисел вполне реальны, а вот последнее. .. Откуда оно взялось?! Видимо, оно случайно попало в этот список: возможно, в результате описки. Однако обнаружение ошибки в условии не избавляет нас от необходимости довести решение до конца. Можно, конечно, посоветовать комиссии снова переписать результаты учащихся и ввести числа из нового, «правильного» протокола. Но где гарантия, что в нем снова не будет опечатки?
Когда все результаты более или менее кучно располагаются на числовой оси, кроме, быть может, нескольких ненадежных значений, анализировать результаты можно! Достаточно высокую точность полученных значений будет гарантировать применение других средних — в частности, урезанного среднего. Для его нахождения сначала упорядочивают набор по возрастанию, а затем отбрасывают слева и справа равное небольшое количество чисел. При этом «выбросы» (или ошибки наблюдений) в дальнейших вычислениях не участвуют. У полученного «урезанного» набора обычным образом находят среднее арифметическое. Оно и является урезанным средним исходного набора.
Вернемся к задаче. Если отбросить по одному числу с каждой стороны, то есть числа 12 и 200, то у оставшегося набора из шести чисел среднее равно 16,3
Это и есть урезанное среднее. Оно неплохо передает реальное среднее количество баллов, набранных юными математиками.
Некоторая аналогия с нахождением урезанного среднего просматривается в правилах судейства во многих видах спорта. Например, в соревнованиях по прыжкам с трамплина технику каждого прыжка оценивают 5 судей. Чтобы получить объективные оценки, две из них — высшую и низшую — отбрасывают, а для трех оставшихся находят сумму. Такой подход не дает возможности судьям повышать баллы своим соотечественникам, а спортсменам затрудняет нечестный путь к медалям.
Задача.
4. На зимние каникулы в одной из школ города Мурманска учительница дала детям задание: следить за погодой и найти среднюю температуру. Ежедневно в течение десяти дней в 15 часов Наташа записывала показания термометра:
–13, –10, –15, 11, –9, –9, –11, –12, –10, –11.
А затем вычислила среднее арифметическое и получила –8,9.
а) Действительно ли в период наблюдений температура колебалась вблизи этого числа?
б) Почему большинство значений (9 из 10) меньше найденного среднего?
в) Как исправить ответ, если он неверный (заново повторить наблюдение, естественно, нельзя)?
а) Нет, в период наблюдений температура колебалась в промежутке [–15; –9], которому найденное среднее не принадлежит;
б) потому что имеется число 11, которое существенно отличается от всех остальных и поэтому меняет среднее в большую сторону;
в) найти урезанное среднее данного набора:
–9, –9, –10, –10, –11, –11, –12, –13, –15, 11. Оно приближенно равно -11,4.
Задача.
1. Про отличника.
У отличника Коли были отметки по математике «5», «5», «5», «5».
И вдруг в конце четверти он получил «2». Он знает, что учитель математики выставляет четвертную отметку как среднее всех отметок, имеющихся у ученика, и не признает пересдач. Какое среднее было бы предпочтительнее для Коли, если он, естественно, надеется на пятерку в четверти?
Решение. 1. Попробуем начать с такого очень распространенного способа выставления четвертных отметок, как нахождение среднего арифметического:
Естественно, что любой учитель округлит этот результат в меньшую сторону и выставит итоговую отметку «4». Значит, это среднее Колю не устраивает.
Мы видим, что один неудачный ответ на балл снизил четвертную отметку. Ведь до этого среднее арифметическое равнялось 5.
2. Помочь Колиной мечте сбыться может другое среднее, и не одно! Например, если в качестве среднего учитель Коли возьмет медиану или урезанное среднее, то в четверти Коле обеспечена пятерка:
— медиана набора 2, 5, 5, 5, 5 равна 5;
— урезанное среднее набора 5, 5, 5, равно
Ответ: медиана или урезанное среднее.
Наглядное представление статистической информации.
ДИАГРАММА (от греч. diagramma — изображение, рисунок, чертеж), графическое изображение, наглядно показывающее соотношение каких-либо величин.
Универсальная энциклопедия Кирилла и Мефодия
Примеры столбчатых диаграмм.
Изображения диаграмм могут быть самыми разнообразными.
Какая диаграмма лучше?
Чаще всего(но не всегда) диаграммы взаимозаменяемы, и одни и те же статистические данные можно представить на различных диаграммах. Тем не менее, в каждом конкретном случае можно выбрать наиболее наглядный способ представления статистических данных:
график лучше всего подходит для того, чтобы показать динамику изменения величины во времени
столбчатая диаграмма удобна для сравнения абсолютных значений изучаемого признака
круговая диаграмма незаменима, когда нужно показать в какой пропорции целое делится на части(если количество частей невелико, иначе она теряет наглядность)
взаимосвязь двух величин лучше всего отражает рассеянная диаграмма.
Полигон частот используется для отображения данных частотных таблиц
Гистограмма отображает данные интервальной таблицы
Примеры рассеянных диаграмм.
Диаграммы рассеивания.
Задание. Имеется диаграмма 1 рассеивания,
показывающая взаимосвязь роста и веса 15
опрошенных юношей. Найти рост самого высокого
и рост самого низкого юноши (т.е. определить
минимальное и максимальное значения набора
чисел, заданного диаграммой рассеивания).
Для этого будем использовать следующее: минимальный рост соответствует абсциссе точки, расположенной левее других, а максимальный — абсциссе крайней точки справа. Получим: min ≈ 167 см, max ≈ 181 см.
Интересно, что остальные 13 точек участия в «обсуждении» вообще не принимают. Их можно стереть — результат от этого не изменится (см. диаграмму 2).
Вторая особенность получаемого результата в том,
что, в отличие от работы с таблицей, данные,
получаемые с помощью графиков и диаграмм,
являются не точными, а приближенными, то есть
ответы могут отличаться.
Аналогично находим минимальное и максимальное значения веса, как ординаты самой нижней и самой верхней точек.
Задача 1.
У вас есть 9 разных книг из серии «Занимательная математика». Сколькими способами можно:
а) расставить их на полки;
б) подарить 3 из них победителям школьной олимпиады, занявшим первые три призовых места;
в) выбрать три из них для подарка своему племяннику;
г) распределить их поровну между тремя учениками.
Определите вид комбинации. Вычислите.
Решение.
а) это перестановка
Р₉= 9! 9!=362980 способов расставить книги
на полке.
б) это размещение
А³₉= 9!/6!=7·8·9=504 способа подарить три книги победителям школьной олимпиады (с учетом порядка).
в) это сочетание
С³₉=9!/6!3!=7·8·9/2·3=84 способа выбрать три книги из девяти для подарка (порядок значения не имеет).
г) по правилу умножения
С³₉ · С³₆ · С³₃=84 · 20=1680 способов разделить поровну девять книг между тремя учениками.
Задача 2.
Два стрелка сделали по одному выстрелу по мишени. Вероятность попадания для первого стрелка 0,7, для второго 0,6. Какова вероятность, что:
а) оба промахнутся;
б) оба попадут;
в) хотя бы один попадет;
г) хотя бы один промахнется.
Решение.
Рассмотрим события:
А= {первый стрелок попадет}
B= {второй стрелок попадет}
C= {первый стрелок промахнется}
D= {второй стрелок промахнется}
События А и С, В и D противоположные
Р(С)=1-Р(А)=1-0,7=0,3
Р(D)=1-Р(В)=1-0,6=0,4
а) Р(С D)=Р(С) · Р(D)=0,3 · 0,4=0,12
б) Р(А В)=Р(А) · Р(В)=0,7 · 0,6=0,42
в) Р(А υ В)=Р(А)+Р(В)-Р(А В)=0,7+0,6-0,42=0,88
г) Р(С υ D)=Р(С)+Р(D)-Р(С D)=0,3+0,4-0,12=0,58
Молодцы!
Скачать презентацию
О компании Flawery
Букеты по категориям
Преимущества для покупателя
Удобный сервис
Мы за индивидуальный подход. С каждым клиентом флорист работает напрямую, Вы можете получить профессиональную консультацию от специалиста по всем интересующим вопросам, оформить заказ и доставку цветов.
Доставка в регионы. С каждым днем к нам присоединяется больше флористов в разных регионах России, поэтому Вам не составит труда заказать букет с доставкой в любую точку России.
Система оплаты. Вы можете оплатить букет банковской картой Visa, MasterCard и МИР онлайн, наличными при получении букета в выбранном салоне или на руки курьеру при доставке.
Сопутствующие товары. Всегда есть возможность подобрать товары, сувениры и открытки, которые дополнят букет.
Система бонусов и скидок
Гибкая ценовая политика. Если понравился букет, но вы не укладываетесь в запланированный бюджет, можно договориться с флористом сделать похожий букет с меньшим количеством цветов, тем самым уменьшив стоимость букета.
Бонусы и подарки. Помимо выгодных предложений на букеты, можно получить дополнительные скидки по промокоду при оплате заказа онлайн.
Дополнительные услуги
Цветы поштучно. Любое количество цветов одного вида, в любом оформлении на ваше усмотрение.
Собрать букет. Если Вы не нашли букет своей мечты, или хотите принять участие в его создании, Вы можете воспользоваться функцией — «Собрать букет», сделав это совместно с флористом, добавляя любые элементы и сочетания цветка имеющегося в наличии.
Подписка на цветы. Мы можем привозить свежие букеты или композиции к вам домой, в офис, магазин, кафе, гостиницу в назначенный день и время с оговоренной периодичностью. Теперь Вам не нужно выполнять сложные операции по оформлению заказа каждый раз, мы сделаем всё за Вас.
Как наша доставка цветов помогает дарить улыбки
Нет секрета в том, что цветы — это один из самых популярных подарков на любой праздник.
На нашем сайте такое огромное количество букетов и композиций, что не оставит ни одного человека оставаться равнодушным:
- сделать приятное жене, подарив шикарный букет;
- выразить чувства любимой девушки на 14 февраля поможет сладкая композиция с цветами;
- поздравить бабушку с 8 марта и подарить цветочную корзину;
- на День матери купить ее любимые цветы;
- коллективом поздравить начальницу красивым букетом;
- заказать букет своему учителю на 1 сентября;
- создать новогоднее настроение помогут новогодние композиции;
Это удивительное сочетание красок и ароматов всегда дарит хорошее настроение и заставляет улыбаться даже в самый ненастный день.
Условия покупки букетов в Москве
Flawery — это огромная площадка, на которой располагаются только самые надежные и ответственные цветочные магазины в Москве. Мы строго придерживаемся заказа и гарантируем, что покупатели получат только свежие цветы и в указанный срок.
Купить букет очень просто, и не займет у вас много времени:
01
Подбираете подходящий букет на свой вкус и связываетесь с флористом в чате на нашем сайте или по телефону.
02
Если цветы закончились, вы узнаете об этом, прежде чем заплатите. В ходе диалога с цветочным магазином можно договориться об изменении состава букета, упаковки, размера или покупке других цветов.
03
При оформлении заказа указываете время и адрес доставки цветов. Если вы хотите забрать букет сами, отпишите в чате флористу, или укажите это при выборе букета.
04
Менеджер связывается с вами для подтверждения адреса и времени доставки цветов, после чего к вам приедет курьер с приобретенным букетом.
05
Мы контролируем выполнение заказа на каждом этапе. Мы выступаем, как гарант качественного и своевременного выполнения заказа.
У нас представлено огромное количество цветочных магазинов, каждый из которых предлагает свою продукцию на своих условиях.
Сравнивая эти предложения, вы выбираете самый красивый и подходящей вам по цене букет, удобную доставку за 1 час в пределах кольцевой дороги и другие выгодные условия.
Гарантии безопасной покупки
Доставка цветов Flawery, контролирует каждый этап, гарантируя успешное завершение процесса покупки и доставки букета. С нашей помощью удобно и безопасно покупать цветы онлайн, ведь:
Лучшие и самые надежные магазины расположены в одном месте, вы сможете наглядно сравнить и ознакомиться с предложениями разных флористов и цветочных магазинов.
Сумма, которую вы заплатили, поступит на счет торговой платформы, и как только мы подтвердим, что купленные вами цветы были доставлены, мы передадим их продавцу.
Мы отслеживаем безопасное завершение сделки и немедленно вернем вам деньги, если по какой-либо причине покупка не состоится.
Если флорист или цветочный магазин получает жалобу, то все букеты этого салона будут немедленно закрыты, поэтому магазины заботятся о качественном обслуживании клиентов.
Покупать у нас не только безопасно, но и выгодно, так как в каталоге всегда есть возможность купить недорогой букет, со скидкой, которая может составить до 50% от первоначальной цены или с бесплатной доставкой.
Многие магазины предлагают не только букеты, но и сопутствующие подарки-сладости, мягкие игрушки, открытки, комнатные растения, а также занимаются свадебной флористикой.
Способы оплаты
Вы можете воспользоваться любыми удобными способами оплаты заказа:
• Банковская карта МИР, Visa, MasterCard, JCB
• Электронные деньги Яндекс.Деньги, WebMoney
• Apple Pay
• Наличными при получении
Наши реквизиты
есть 5 разных видов цветов.
Сколько ваз можно заполнить, используя комбинации всего из 3 цветов, не дублируя 3 ранее использовавшихся цветка? Я просто старый
РЕШЕНИЕ: есть 5 разных видов цветов. Сколько ваз можно заполнить, используя комбинации всего из 3 цветов, не дублируя 3 ранее использовавшихся цветка?
Я просто старый
Алгебра ->
Системы координат и линейные уравнения
-> Линейные уравнения и системные словесные задачи
-> РЕШЕНИЕ: есть 5 разных видов цветов. Сколько ваз можно заполнить, используя комбинации всего из 3 цветов, не дублируя 3 ранее использовавшихся цветка?
я просто старый
Войти
|
комбинаторика — Сколько групп пятиугольных цветочных букетов можно составить?
Начнем с построения цветочных композиций ${\bf h}=(h_1,h_2,h_3)$, состоящих из трех куч $h_i=(t_i,r_i,d_i)$ $(1\leq i\ leq3)$, где числа $t_i$, $r_i$, $d_i$ задают количество тюльпанов, роз и маргариток в куче $h_i$.
Звездочками и полосками $4$ тюльпаны можно распределить среди $h_i$ ${4+2\выбрать 2}=15$ способами, $5$ розы ${5+2\выбрать2}=21$ способами , и $6$ маргаритки в ${6+2\choose2}-3=25$ способами (мы не хотим помещать все $6$ маргаритки в одну кучу). Отсюда следует, что существует $15\cdot 21\cdot 25=7875$ способов построить такое расположение. Небольшая программа производит все это и проверяет для каждого, является ли оно допустимых , т. е. все кучи имеют размер $5$. Это означает, что дополнительные условия
$$t_i+r_i+d_i=5\qquad(1\leq i\leq3)\tag{1}$$
удовлетворены. Получается, что $210$ комбинаций выполняют $(1)$.
Пример:
${\bf h}=(212, 203, 041)$, где мы опустили внутренние запятые. Этот ${\bf h}$ содержит $2$ тюльпанов, $1$ розу и $2$ ромашек в первой куче. Среди $210$-размещений, найденных программой, есть также ${\bf h}’=(203,041, 212)$ с теми же тремя кучами, но в другом порядке. Поскольку ОП хотел, чтобы кучи не были пронумерованы, мы должны исключить такие дубликаты. *,\quad (122, 131, 203).\cr}$$$6$ из этих размещений, отмеченных звездочкой, имеют два равных кучи. В дальнейшем они нуждаются в особом обращении.
До сих пор $h_i$ были просто кучкой из пяти цветов. Но ОП хочет создать из этих цветов правильные пятиугольники, при этом повороты одного и того же пятиугольника следует учитывать только один раз. Тройки чисел, встречающиеся в приведенном выше списке, являются перестановками пяти троек.
$500,\quad 410,\quad320,\quad 311,\quad 221\ .$$
Три выпавших числа обозначают количество цветов каждого цвета в куче. Каждая из этих троек $h$ допускает определенное число $m(h)$ вращательно различных пятиугольников. $500$ означает, что все пять цветов одного цвета. В этом случае возможен только один пятиугольник, то же верно и для $410$; следовательно, $m(500)=m(410)=1$. При $320$ два одинаковых цветка могут находиться на расстоянии $1$ или $2$ в пятиугольнике; составляет $m(320)=2$. Тогда $311$: первый цветок можно разместить где угодно, второй цветок можно разместить в четырех местах, что составляет $m(311)=4$.